父親不養孩子的,應該承擔的法律責任是對孩子履行撫養義務,為孩子支付撫養費。法律規定,父母對未成年子女負有撫養、教育和保護的義務。父母不履行撫養義務的,未成年子女有要求父母給付撫養費的權利。如果父親不撫養孩子構成遺棄罪的,父親還需要依法承擔刑事責任,即法院可對其判處五年以下有期徒刑、拘役或者管制。
法律依據:
《中華人民共和國民法典》第二十六條
父母對未成年子女負有撫養、教育和保護的義務。
成年子女對父母負有贍養、扶助和保護的義務。
《中華人民共和國民法典》第一千零六十七條
父母不履行撫養義務的,未成年子女或者不能獨立生活的成年子女,有要求父母給付撫養費的權利。成年子女不履行贍養義務的,缺乏勞動能力或者生活困難的父母,有要求成年子女給付贍養費的權利。